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9. 管材料の応力・熱伸縮 過去9年の計算問題 15問を、使う公式ごとに並べました。各公式の先頭に「いつ使うか・式の意味・落とし穴」を置いています。問題名をクリックすると解答例が開きます。
熱伸縮量（ΔL=αLΔT）★☆☆ 9年で3回
🔎 いつ使うか（見分け方）拘束されていない管が温度変化で何mm伸びるかを求めるとき。
💡 式の意味ΔL＝α·L·ΔT。線膨張係数×長さ×温度差。こちらは長さに比例します（長いほど伸びる）。前項の熱応力とは対になる式で、同じ状況でも『固定されているか』で使う式が変わります。
- 拘束がないことを問題文で確認する
- ΔL＝α×L×ΔT を計算する
- 答えの単位（mm か m か）を確認する
✏️ 式の変形（1行ずつ） 目標：温度差の取り方を含めて、伸び量を出す
- 熱伸縮の式から出発します
Δ L = α L Δ T
- Δ T は「使用時の温度 − 設置時の温度」です
Δ T = t使用 – t設置
- たとえば −10℃で設置し40℃で使うなら
Δ T = 40 – (-10) = 50
- 式に入れて計算します
Δ L = α × L × 50
マイナスを引くとプラスになる、という所でつまずきやすい箇所です。40 – (-10) は 40 + 10 で50。ここを40としてしまう誤答が実際に多く見られます。
この変形が追えないときは → 計算の前に：算数・数学のおさらい
⚠ 落とし穴（★は過去問で実際に多い誤り）
- ★ 単位換算（Lをmで入れたらΔLもm。mm で答えるなら1000倍）
- ★ 温度差の取り違え（−10℃から40℃なら50℃であって40℃ではない）
- ★ 熱応力の値（σ＝EαΔT）を伸び量と取り違える。選択肢に必ず用意されています
熱応力と熱伸縮は毎年どちらかが出ます。2つの式を並べて覚えるのが効率的。
この公式の過去問（3問）
乙H30口径300mm、長さ25mの溶接管で、その両端や周囲は拘束されていないものとする。この溶＋ 解答例
口径300mm、長さ25mの溶接管で、その両端や周囲は拘束されていないものとする。この溶接管の管体温度が一様に40℃上昇した場合の溶接管の伸び量(mm)として最も近い値はどれか。ただし、線膨張係数は1.0×10^-5 (1/℃)とし、内圧や自重は無視する。
使う式
Δ L = α ・ L ・ Δ T
記号：Δ L:伸び量[m] / α:線膨張係数[1/℃] / L:長さ[m] / Δ T:温度上昇[℃]
解き方
- 線膨張による伸び: ΔL = α × L × ΔT
- ΔL = (1.0×10⁻⁵) × 25 × 40 = 1.0×10⁻⁵ × 1000 = 0.01 m = 10 mm
- 最も近い値は (2) 10 mm
答え：10 mm（正解の選択肢 (2)）
この問題で多い誤り
- 単位換算ミス (m → mm)
- 口径と長さを混同
甲R4口径400 mmの鋼管を用い、長さ50 mで両端固定された架管を冬期(管体温度は−10℃＋ 解答例
口径400 mmの鋼管を用い、長さ50 mで両端固定された架管を冬期(管体温度は−10℃)に設置することになった。夏期に架管全体の温度が40℃になるときに生じる応力を、架管途中に設けた伸縮継手で対処する場合、設計変位量(mm)として最も近い値はどれか。ただし、導管の線膨張係数は1.2×10⁻⁵(1/℃)、内圧は0.3(MPa)、ヤング率は2.1×10⁵(N/mm²)とする。
使う式
Δ L = α L Δ T
記号：ΔL: 設計変位量(熱伸縮量) [mm]、α: 線膨張係数 = 1.2×10⁻⁵ 1/℃、L: 管長 = 50 m = 50000 mm、ΔT: 温度変化 = 40−(−10) = 50℃
解き方
- 温度変化: ΔT = 40 − (−10) = 50℃
- 伸縮継手で吸収すべき変位量は管の熱伸び量: ΔL = αLΔT
- ΔL = 1.2×10⁻⁵ × 50000 mm × 50 = 30 mm → (3)
答え：30 mm（正解の選択肢 (3)）
この問題で多い誤り
- 温度変化を40℃とする(−10℃からの差50℃を取らない)→ΔL=24 mmで選択肢(2)に誘導
- 熱応力σ=EαΔT=2.1×10⁵×1.2×10⁻⁵×50=126 N/mm²を変位量と取り違える→選択肢(5)に誘導
- 内圧0.3 MPaとヤング率は、伸縮継手で変位として吸収する場合の伸び量計算には不要なひっかけ条件(応力照査用)
乙R4口径400mmの鋼管を用い、長さ50mで両端固定された架管を冬期（管体温度は-10℃）に＋ 解答例
口径400mmの鋼管を用い、長さ50mで両端固定された架管を冬期（管体温度は-10℃）に設置することになった。夏期に管全体の温度が40℃になるときに生じる応力を、架管途中に設けた伸縮継手で対処する場合、設計変位量（mm）として最も近い値はどれか。ただし、導管の線膨張係数は1.2×10⁻⁵(1/℃)、内圧は0.3 (MPa)、ヤング率は2.1×10⁵(N/mm²)とす る。
使う式
Δ L = α L Δ T (熱伸縮量)
記号：α:線膨張係数[1/℃] / L:管長[mm] (50m=50,000mm) / Δ T:温度差[℃] (40−(−10)=50)
解き方
- 正解は (3) = 30 mm。
- 設計変位量 ΔL = α × L × ΔT。
- ΔL = 1.2×10⁻⁵ × 50,000 mm × 50℃ = **30 mm**
答え：30 mm（正解の選択肢 (3)）
熱応力（σ=EαΔT）★☆☆ 9年で4回
🔎 いつ使うか（見分け方）両端を固定した管の温度が変わったときの応力を求めるとき。「両端を堅固に固定」が目印です。
💡 式の意味σ＝E·α·ΔT。伸びたいのに固定されて伸びられない、その分が応力になります。管の長さも口径も式に出てこないのが特徴で、長さは関係ありません（伸びようとする『割合』は長さによらないため）。
- 温度差ΔTを設置時と使用時の差として取る（符号でなく絶対値）
- σ＝E×α×ΔT に代入する
- E（縦弾性係数）は鋼で約2.1×10⁵ N/mm²、αは約1.2×10⁻⁵/℃
⚠ 落とし穴（★は過去問で実際に多い誤り）
- ★ 温度差の取り違え。冬に設置して夏に使うなら ΔT＝夏−冬（例：40−(−10)＝50℃）
- ★ 口径や長さを式に入れようとする（どちらも無関係）
- ★ 熱伸縮量（ΔL）と混同する。固定されていれば応力、自由なら伸縮量
「固定されている＝応力」「自由＝伸縮量」で問題を仕分けると迷いません。
この公式の過去問（4問）
甲R1口径200mmの鋼管を用い、長さ20mで両端を堅固に固定した架管を冬期(設置時管体温度:＋ 解答例
口径200mmの鋼管を用い、長さ20mで両端を堅固に固定した架管を冬期(設置時管体温度:-10℃)に設置した。この架管が夏期に直射日光を受け、管全体の温度が50℃になった場合に生ずる応力(N/mm²)として最も近い値はどれか。ただし、鋼管の線膨張係数は1×10⁻⁵(1/℃)、ヤング率2×10⁵(N/mm²)とし、内圧や自重は無視する。
使う式
σ=EαΔ T
記号：σ:温度応力 / E:ヤング率 / α:線膨張係数 / Δ T:温度変化(両端固定)。Δ T=50-(-10)=60℃
解き方
- 両端固定の架管の温度応力 σ=E×α×ΔT。
- E=2×10⁵N/mm²、α=1×10⁻⁵(1/℃)、ΔT=50-(-10)=60℃。
- σ=2×10⁵×1×10⁻⁵×60=120N/mm²。
答え：120 N/mm²（正解の選択肢 (4)）
この問題で多い誤り
- 温度差を符号込みで取り違える。口径200mmは応力に無関係
乙R2口径300mmの鋼管を用い、長さ40mで両端固定された架管が冬の時期（管体温度は-10℃＋ 解答例
口径300mmの鋼管を用い、長さ40mで両端固定された架管が冬の時期（管体温度は-10℃）に設置された。夏期にこの架管全体の温度が40℃になったときに生じる応力を、架管途中に設けた伸縮継手で対処すると、設計変位量(mm)として最も近い値はどれか。ただし、導管の線膨張係数は1×10⁻⁵(1/℃)、内圧は0.3MPa、ヤング率は2×10⁵N/mm²とする。
使う式
σ = E ・ α ・ Δ t（両端固定管の熱応力）
記号：E=ヤング率, α=線膨張係数, Δt=温度差。両端固定で伸びが拘束され熱応力が発生
解き方
- 温度差 Δt = 40 −(−10) = 50 ℃
- 両端固定された架管には熱応力(σ = E・α・Δt)が生じる
- ※詳細な数値計算は公式解説を要確認。正解は選択肢(3)
答え：20（正解の選択肢 (3)）
この問題で多い誤り
- 管厚計算式と取り違える誤り / 温度差を Δt=40−(−10)=50℃ と正しく取る
甲R5口径400mmの鋼管を用い、長さ30mで両端を堅固に固定した架管を設置した。設置時の管体＋ 解答例
口径400mmの鋼管を用い、長さ30mで両端を堅固に固定した架管を設置した。設置時の管体温度が10℃、最も寒い時期の管体温度は-10℃、最も暑い時期の管体温度は50℃になる条件のときに鋼管に生じる最大応力(N/mm²)として最も近い値はどれか。ただし、鋼管の線膨張係数は1×10⁻⁵(1/℃)、ヤング率2×10⁵(N/mm²)とし、内圧や自重は考慮しないものとする。
使う式
σ = E,α,Δ T (両端固定管の熱応力)
記号：E:ヤング率[N/mm²] / α:線膨張係数[1/℃] / Δ T:設置時からの温度差[℃]。管長によらない
解き方
- 両端固定の熱応力は σ = E·α·ΔT(管長は無関係)。
- 温度差は設置時10℃基準: 最暑時 +40℃、最寒時 −20℃ → 最大ΔT = 40℃。
- σ = 2×10⁵ × 1×10⁻⁵ × 40 = 80 N/mm²。
答え：80 N/mm²（正解の選択肢 (2)）
この問題で多い誤り
- 温度差を50−(−10)=60℃としてしまう(基準は設置時の10℃)
- 管長30mを使った伸び量計算と混同
乙R5鋼管(口径300mm、長さ40m)に生じる最大応力(N/mm²)として、最も近い値はどれ＋ 解答例
口径300mmの鋼管を用い、長さ40mで両端を堅固に固定した架管が冬期（設置時管体温度は-10℃）に設置された。この架管が夏期に直射日光を受け、管全体の温度が50℃になった場合に生じる応力(N/mm²)として最も近い値はどれか。ただし、鋼管の線膨張係数は1×10⁻⁵(1/℃)、ヤング率2×10⁵(N/mm²)とし、内圧や自重は考慮しないものとする。
使う式
σ = E ・ α ・ Δ T (両端固定鋼管の熱応力)
記号：σ:応力[N/mm²] / E:ヤング率[N/mm²] / α:線膨張係数[1/℃] / Δ T:温度変化[℃]
解き方
- E = 2 × 105 N/mm², α = 1 × 10-5 /℃
- Δ T = 50 – (-10) = 60 ℃
- σ = 2 × 105 × 1 × 10-5 × 60 = 2 × 60 = 120 N/mm²
答え：120 N/mm²（正解の選択肢 (3)）
この問題で多い誤り
- 温度差の符号ミス(冬-夏ではなく夏-冬)
- 単位の取り違え
必要管厚の計算（技術基準の式）9年で2回
🔎 いつ使うか（見分け方）ガス事業法の技術基準で定める必要管厚を求めるとき。
💡 式の意味形は「圧力に耐えるのに必要な厚さ＋腐れしろC」。外径基準では t＝P·D₀/(2σₐη＋0.8P)＋C という薄肉円筒の式が使われます。分母に許容応力σₐと継手効率ηが並び、そこに0.8Pの補正が入る形です。計算そのものは代入するだけで、勝負は式の読み取りと腐れしろの加算にあります。
- 問題文に示された式をそのまま書き写す（この型は式が与えられることがほとんど）
- 外径・許容応力・継手効率・腐れしろを式の記号に対応させる
- 計算部分を先に出し、最後に腐れしろCを足す
⚠ 落とし穴（★は過去問で実際に多い誤り）
- ★ 腐れしろCの加算忘れ。選択肢に合わなくなります
- ★ 分母の 0.8P の項を落とす
- ★ 単位（1 MPa＝1 N/mm²。この換算を知っていると計算が速い）
- 式を暗記して臨まないこと。年度によって与えられる式の形が違うため、必ず問題文の式に代入してください
甲種向け。式が与えられる前提の問題なので、暗記より「与えられた式に正しく代入する」練習が有効です。
この公式の過去問（2問）
甲R2外径200 mmの鋼管が内圧1 MPaを受ける場合、ガス事業法の管厚計算式を用いたときの＋ 解答例
外径200 mmの鋼管が内圧1 MPaを受ける場合、ガス事業法の管厚計算式を用いたときの管厚(mm)として最も近い値はどれか。なお、鋼管の外径と内径の比は1.5以下とし、鋼管の許容引張応力は62 N/mm²、継手効率1.00、腐れしろ1 mmとする。
使う式
t = P D2 σa η + 0.8 P + C
記号：外径基準の薄肉円筒の管厚計算式(ガス事業法施行規則の例による)。P=内圧、D=外径、σa=許容引張応力、η=継手効率、C=腐れしろ。
解き方
- P=1 MPa=1 N/mm²、D=200 mm、σa=62 N/mm²、η=1.00、C=1 mm。
- 分子 = P·D = 1×200 = 200。
- 分母 = 2·σa·η + 0.8·P = 2×62×1.00 + 0.8×1 = 124 + 0.8 = 124.8。
- 計算厚さ = 200 / 124.8 ≒ 1.60 mm。
- 腐れしろを加算: t = 1.60 + 1 = 2.60 mm。
答え：2.6（正解の選択肢 (5)）
この問題で多い誤り
- 腐れしろ1 mmの加算を忘れると約1.6 mmとなり選択肢に合わない。また分母の0.8Pの項を落とすと値がわずかにずれる。単位(1 MPa=1 N/mm²)の換算ミスにも注意。
甲R6外径300mmの鋼管が内圧3MPaを受ける場合、ガス事業法の管厚計算式を用いたときの管厚＋ 解答例
外径300mmの鋼管が内圧3MPaを受ける場合、ガス事業法の管厚計算式を用いたときの管厚(mm)として、最も近い値はどれか。なお、この鋼管の外径と内径の比は1.5以下とし、鋼管の許容引張応力は100N/mm²、継手効率は1.0、腐れしろは1.0mmとする。
使う式
t = 0.8,P,D0σa,η + C (ガス事業法の管厚計算式・外径/内径比1.5以下)
記号：P:最高使用圧力[MPa] / D0:外径[mm] / σa:許容引張応力[N/mm²] / η:継手効率 / C:腐れしろ[mm]
解き方
- t = 0.8×3×300 ÷ (100×1.0) + 1.0。
- = 720/100 + 1.0 = 7.2 + 1.0 = 8.2 mm → 最も近い値は 8.1。
答え：8.1 mm（計算値8.2）（正解の選択肢 (2)）
この問題で多い誤り
- 高圧ガス保安法の式 PD/(2fη+0.8P) と混同する(ガス事業法は 0.8PD/(σaη)+C)
- 腐れしろCの加算忘れ
内圧による応力（円周方向・軸方向）★★☆ 9年で6回
🔎 いつ使うか（見分け方）内圧を受ける導管に生じる応力を求めるとき。供給で毎年出る2問のうちのもう1つです。
💡 式の意味円周方向応力 σ＝PD/(2t)、軸方向応力 σ＝PD/(4t)。円周方向が軸方向のちょうど2倍になります。管が破裂するとき縦に裂けるのは、この2倍の応力が円周方向に働くからです。Dは内径。外径が与えられたら D＝外径−2t で内径に直します。
- 円周方向か軸方向かを問題文で確認する（2tか4tかが決まる）
- Dが内径か外径かを確認し、外径なら内径に直す
- σ＝PD/(2t) または PD/(4t) に代入する（1 MPa＝1 N/mm²）
✏️ 式の変形（1行ずつ） 目標：内径が与えられていないときの応力を求める
- 円周方向応力の式から出発します（D は内径）
σ = PD2t
- 問題文が外径 D0 で与えている場合、内径に直す必要があります
D = D0 – 2t
- 内径に置き換えます
σ = P(D0 – 2t)2t
- あとは数を入れて計算するだけです
外径をそのまま D に入れた答えが、必ず選択肢に用意されています。「管厚は内側と外側の両方にある」ので、外径から引くのは t ではなく 2t です。
この変形が追えないときは → 計算の前に：算数・数学のおさらい
⚠ 落とし穴（★は過去問で実際に多い誤り）
- ★ 外径をそのままDに使う。誤答の選択肢が必ず用意されています
- ★ 円周方向と軸方向の混同（2tと4t）
- ★ 単位（MPa と N/mm² は同じ値。mmとmを混ぜない）
「円周は軸の2倍」「Dは内径」の2点だけで、この型の失点はほぼなくなります。
この公式の過去問（6問）
甲H29外径200mm、管厚5mmの導管が内圧1.0MPaを受けたときに生じる円周方向の応力(N＋ 解答例
外径200mm、管厚5mmの導管が内圧1.0MPaを受けたときに生じる円周方向の応力(N/mm²)として最も近い値はどれか。
使う式
σc=PD2t
記号：σc:円周方向応力(フープ応力) / P:内圧 / D:内径(=外径-2t) / t:管厚。D=200-2×5=190mm
解き方
- 円周方向応力 σc=PD/2t(D:内径=外径-2×管厚=200-2×5=190mm、t:管厚)。
- σc=1.0×190/(2×5)=190/10=19.0N/mm²。
答え：19.0 N/mm²（正解の選択肢 (3)）
この問題で多い誤り
- 外径200mmをそのままDに使う誤り(内径=外径-2t)。軸方向応力PD/4tと混同
乙R1外径150mm、管厚5mmの鋼管が内圧1MPaを受けたときに管に生じる軸方向の応力(N/＋ 解答例
外径150mm、管厚5mmの鋼管が内圧1MPaを受けたときに管に生じる軸方向の応力(N/mm^2)として最も近い値はどれか。
使う式
σaxial = P ・ D4t
記号：σaxial:軸方向応力 / P:内圧 / D:外径(平均径近似) / t:管厚
解き方
- 軸方向応力(縦応力)の式: σaxial = P·D/(4·t)
- 内径 D = 外径 – 2×管厚 = 150 – 2×5 = 140 mm. 平均径 Dm ≒ 145mm. 簡易計算で外径150mmを使用 (薄肉近似)
- σ = 1MPa × 150mm / (4 × 5mm) = 1 × 150 / 20 = 7.5 N/mm²
- 最も近い値は (2) 7 N/mm²
答え：約 7 N/mm²（正解の選択肢 (2)）
この問題で多い誤り
- 円周方向応力 PD/(2t) と軸方向応力 PD/(4t) の混同 (円周方向は軸方向の2倍)
- 単位ミス
甲R3外径200 mm、管厚5 mmの導管が内圧1 MPaを受けるときに生じる軸方向の応力(N＋ 解答例
外径200 mm、管厚5 mmの導管が内圧1 MPaを受けるときに生じる軸方向の応力(N/mm²)として最も近い値はどれか。
使う式
σz = P d4 t
記号：薄肉円筒の軸(長手)方向応力は σz = P·d/(4t)。dは内径を用いる。内径 d = 外径 − 2×管厚 = 200 − 2×5 = 190 mm。
解き方
- 内径 d = 200 − 2×5 = 190 mm
- P = 1 MPa = 1 N/mm², t = 5 mm
- σz = P·d/(4t) = 1×190/(4×5) = 190/20 = 9.5 N/mm²
答え：9.5（正解の選択肢 (2)）
この問題で多い誤り
- 外径200 mmをそのまま代入すると 200/20 = 10.0 N/mm²(選択肢3)となり誤答。軸方向応力では内径を用いる。なお円周方向応力は σθ = P·d/(2t) で軸方向の2倍になる点と混同しないこと。
乙R3外径200mm、管厚5mmの導管が内圧0.5MPaを受けるときに生じる円周方向の応力（N＋ 解答例
外径200mm、管厚5mmの導管が内圧0.5MPaを受けるときに生じる円周方向の応力（N/mm²）として最も近い値はどれか。
使う式
σ = PD2t (薄肉円筒の円周方向応力)
記号：P:内圧[MPa] / D:内径[mm] (外径200 − 2×管厚5 = 190mm) / t:管厚[mm]
解き方
- P（最高使用圧力）：1.0 MPa
- D（外径）：400 mm
- f（許容引張応力）：100 N/mm²
- η（継手効率）：1.0
- C（腐れしろ）：1.0 mm
- 代入すると、 / t = (1.0 × 400) / (2 × 100 × 1.0) + 1.0 / t = 400 / 200 + 1.0 / t = 2.0 + 1.0 = 3.0 mm
- 計算結果より、正解は(3)となります。 / 💡ワンポイント：公式の意味を考えると理解が深まります。分子のP×Dは「広げようとする力」、分母の2×fは「管が耐える力」です。これに「予備の厚み(C)」を足すのが設計です。
答え：9.5 N/mm²（正解の選択肢 (3)）
甲R7外径150mm、管厚5mmの鋼管が内圧2MPaを受けるときに生じる円周方向の応力(N/m＋ 解答例
外径150mm、管厚5mmの鋼管が内圧2MPaを受けるときに生じる円周方向の応力(N/mm²)として最も近い値はどれか。
使う式
σ = PD2t (薄肉円筒の円周方向応力・Dは内径)
記号：P:内圧[MPa] / D:内径[mm] = 外径150 − 2×管厚5 = 140 / t:管厚[mm]
解き方
- 内径 D = 150 − 2×5 = 140 mm。
- σ = 2×140 ÷ (2×5) = 280/10 = 28 N/mm²。
答え：28 N/mm²（正解の選択肢 (3)）
この問題で多い誤り
- 外径150mmを使って30 N/mm²を選ぶ
- 軸方向応力 PD/(4t) と混同
乙R7外径150mm、管厚5mmの鋼管が内圧0.5MPaを受けるときに生じる軸方向の応力(N/＋ 解答例
外径150mm、管厚5mmの鋼管が内圧0.5MPaを受けるときに生じる軸方向の応力(N/mm²)として最も近い値はどれか。
使う式
σell = PD4t
記号：P:内圧=0.5MPa、D:内径=外径150−2×管厚5=140mm、t:管厚=5mm（軸方向応力は周方向応力の半分）
解き方
- 軸方向の応力 σℓ = PD/(4t)（D:内径）
- D = 外径150−(5×2) = 140mm
- σℓ = 0.5×(150−(5×2))/(4×5) = 0.5×140/20 = 3.5N/mm²
答え：3.5 N/mm²（正解の選択肢 (1)）
この問題で多い誤り
- 周方向応力 σ=PD/(2t) を使う（軸方向は分母4t）
- 内径Dに外径150をそのまま使う
- 管厚の2倍を引き忘れる